Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b) Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b) kannst du es wiederholen und üben.
Stelle die gesuchte lineare Funktion auf.
Tipps
Die Normalform einer linearen Funktion lautet $y=mx+b$.
Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
Der Marsrover verbraucht $\mathbf{2}$ Energieeinheiten pro Kilometer. Es handelt sich um eine Energieabnahme, also eine fallende Gerade.
Bevor der Marsrover losfährt, hat er genau $\mathbf{20}$ Energieeinheiten. Der Punkt $\mathbf{(0\ \vert\ 20)}$ liegt also auf der Geraden.
Lösung
Gesucht ist die Normalform einer linearen Funktion. Diese lautet allgemein $y=mx+b$.
Dabei ist $\mathbf{m}$ die Steigung und $\mathbf{b}$ der $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt.
Steigung
Die Steigung $m$ ist für eine steigende Gerade positiv und für eine fallende Gerade negativ.
Da der Marsrover pro Kilometer $\mathbf{2}$ Energieeinheiten verbraucht, handelt es sich um eine Energieabnahme, also eine fallende Gerade. Die gesuchte lineare Funktion hat demnach eine negative Steigung, nämlich $m=-2$.
$\mathbf{y}$-Achsenabschnitt
Außerdem ist bekannt, dass der Marsrover vor dem Losfahren $\mathbf{20}$ Energieeinheiten hat. Somit ist der Punkt $(0\ \vert\ 20)$ gegeben. Die $y$-Koordinate dieses Punktes ist der gesuchte $y$-Achsenabschnitt $b$.
Nun können wir die lineare Funktion in Normalform aufstellen. Diese lautet:
$y=-2x+20$
Um zu bestimmen, wie weit der Rover mit seiner übrigen Energie noch kommt, setzen wir für $y$ den Wert 0$ ein. Genau dann hat der Marsrover nämlich keine Energie mehr übrig. Wir erhalten:
$\begin{array}{llll}0 & = & -2x+20 & \vert +2x\\2x & = & 20 & \vert :(2) \\x &=& 10 &\end{array}$
Der Marsrover kann mit seinen $20$ Energieeinheiten noch $10\ \text{km}$ zurücklegen und besitzt demzufolge für die geplante Mission genügend Energie.
Bestimme die gesuchte Geradengleichung.
Tipps
Wenn zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kannst du die Steigung wie folgt berechnen:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Wenn ein Punkt $P(x\ \vert\ y)$ und die Steigung $m$ einer Geraden bekannt sind, dann kannst du den $y$-Achsenabschnitt berechnen. Schaue dir das folgende Beispiel an:
See AlsoLineare Funktionen • Formel, Zeichnen, BeispieleSlope-intercept form introduction | Algebra (article) | Khan AcademySlope-intercept form review (article) | Khan Academyy = mx + b - What is Meaning of y = mx + b, How to Find Slope and Y-interceptMit $m=2$ und $P(1\ \vert\ 0)$ erhalten wir diese Berechnung für den $y$-Achsenabschnitt:
$\begin{array}{llll}0 & = & 2\cdot 1+b & \\0 & = & 2+b & \vert -2 \\-2 & = & b\end{array}$
Somit lautet die Geradengleichung in Normalform:
$y=2x-2$
Lösung
Zunächst soll die Steigung zwischen den Punkten $S_1$ und $F$ sowie den Punkten $S_2$ und $F$ berechnet werden.
Da je zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kann die Steigung wie folgt bestimmt werden:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
Angewendet auf die Punkte $S_1(1\ \vert\ 0)$ und $F(7\ \vert\ 6)$ erhalten wir:
$m_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-0}{7-1}=\frac{6}{6}=1$
Angewendet auf die Punkte $S_2(5\ \vert\ 0)$ und $F(7\ \vert\ 6)$ erhalten wir:
$m_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-0}{7-5}=\frac{6}{2}=3$
Da der Marsrover lediglich eine maximale Steigung von $2,5$ überwinden kann, eliminieren wir die Route von dem Punkt $S_2$ zu dem Punkt $F$, da $3>2,5$.
Somit kennen wir die Steigung von $m=1$ für die gesuchte Geradengleichung in Normalform:
$y=1\cdot x+b$
Jetzt muss nur noch der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet werden. Dafür setzen wir einen der bekannten Punkte in unsere Gleichung ein. Mit dem Punkt $S_1(1\ \vert\ 0)$ ergibt sich:
$\begin{array}{llll}0 & = & 1\cdot 1+b & \\0 & = & 1+b & \vert -1 \\-1 & = & b\end{array}$
Die vollständige Geradengleichung in Normalform lautet:
${y=1\cdot x-1}$
Ermittle die Geradengleichung in Normalform für die abgebildeten Funktionsgraphen.
Tipps
Die Steigung $m$ ist wie folgt definiert:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Die Steigung des abgebildeten Funktionsgraphen lautet somit:
$m=\frac{1}{2}=0,5$
Der $y$-Achsenabschnitt entspricht der $y$-Koordinate des Schnittpunktes mit der $y$-Achse.
Lösung
See AlsoSlope-Intercept FormDas Vorgehen soll anhand des erstens Beispiels verdeutlicht werden: Die Gerade verläuft durch den Ursprung $P(0\ \vert\ 0)$. Demnach ist der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Für die Steigung erhalten wir Folgendes:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}=0,5$
Somit erhalten wir $y=0,5x$.
Leite die gesuchte lineare Funktion her.
Tipps
Die Steigung $m$ beschreibt den Kerosinverbrauch in Litern pro Kilometer.
Der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist das verbrauchte Kerosin in Litern bei $0$ Kilometern zurückgelegter Strecke.
Lösung
Diese Angabe ist uns bekannt:
- Das Flugzeug verbraucht $700$ Liter Kerosin pro $100$ Kilometer.
Außerdem wissen wir, dass das Flugzeug vor dem Abflug, also bei $0\ \text{km}$ zurückgelegter Strecke, noch keinen Kraftstoff verbraucht hat. Wir kennen also den Punkt $P(0\ \vert\ 0)$ und somit den $y$-Achsenabschnitt $b=0$.
Die Steigung ergibt sich durch:
$m=\frac{700}{100}=7$
Daraus resultiert folgende Geradengleichung in Normalform:
$y=7x+0$ bzw. $y=7x$
Beschreibe die Normalform einer linearen Funktion.
Tipps
Die Normalform einer linearen Funktion lautet in Worten:
$y$-Koordinate = Steigung $\cdot$ $x$-Koordinate + $y$-Achsenabschnitt
Wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind, dann kann ihre Steigung wie folgt berechnet werden:
${m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$
Lösung
Die Normalform einer linearen Funktion lautet:
$y=mx+b$
Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
Wenn zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, dann kannst du die Steigung wie folgt berechnen:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
In dem abgebildeten Beispiel mit $P(3\ \vert\ 2)$ und $Q(4\ \vert\ 5)$ resultiert diese Steigung:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-2}{4-3}=\frac{3}{1}=3$
Bestimme die jeweilige Geradengleichung.
Tipps
Schaue dir das folgende Beispiel an:
- gegeben: $m=2$ und $P(1\ \vert\ 2)$
- gesucht: $b$
Die Angaben eingesetzt in die Normalform der Geradengleichung liefern diese Berechnung:
$\begin{array}{llll}2 & = & 2\cdot 1+b & \\2 & = & 2+b & \vert -2 \\0 & = & b\end{array}$
Wenn zwei Punkte gegeben sind, dann kannst du die Steigung wie folgt bestimmen:
- gegeben: $P(1\ \vert\ 2)$ und $Q(5\ \vert\ 10)$
- gesucht: $m$
Für die Steigung resultiert diese Berechnung:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2$
Lösung
Das Vorgehen soll anhand der ersten drei Beispiele verdeutlicht werden:
Beispiel 1
- gegeben: $m=2,5$ und $P(2\ \vert\ 7)$
- gesucht: $b$
Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:
$\begin{array}{llll}7 & = & 2,5\cdot 2+b & \\7 & = & 5+b & \vert -5 \\2 & = & b &\end{array}$
Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2,5x+2$.
Beispiel 2
- gegeben: $b=7$ und $P(2\ \vert\ 19)$
- gesucht: $m$
Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:
$\begin{array}{llll}19 & = & m\cdot 2+7 & \vert -7 \\12 & = & m\cdot 2 & \vert :2 \\6 & = & m &\end{array}$
Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=6x+7$.
Beispiel 3
- gegeben: $P(-2\ \vert\ 8)$ und $Q(0\ \vert\ 12)$
- gesucht: $m$ und $b$
Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:
$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12-8}{0-(-2)}=\frac{4}{2}=2$
Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden nun in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ wird ermittelt:
$\begin{array}{llll}8 & = & 2\cdot (-2)+b & \\8 & = & -4+b & \vert +4 \\12 & = & b &\end{array}$
Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2x+12$.
